ストラテジーの探し方

フィボナッチの兎

フィボナッチの兎
動画の通りに作ったら、メガネは結構シンプルになりました。

フィボナッチ数列 (読み)ふぃぼなっちすうれつ

初項と第2項を1とし、第3項以後次々に前2項の和をとって得られる数列。つまり、
a1=1, a2=1, an+1anan-1
(n=2, 3, 4,……)
で表され、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,……
という数列となる。これはフィボナッチが『算術の書』(1202)のなかで、次のような問題として提起したものである。「一つがいのウサギは、生まれて2か月後から、毎月一つがいの子供を産むとする。初めの生まれたての一つがいがいるとき、1か月後、2か月後、……のウサギのつがいの総数を求めよ」。

フィボナッチ数列の相隣る項の比をとってできる数列a2/a1, a3/a2,……つまり、
1, 2, 5/3, 8/5,……
は、無限連分数

を途中で打ち切って得られる分数の列である。この分数列は フィボナッチの兎 (1+)/2 に収束する。この極限値は、黄金比(黄金分割の比)として、古来、重要視された数である。anは、

と表すことができる。

占い用語集 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ数列

「フィボナッチ」は12~13世紀に実在したイタリアの数学者のこと。数列は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, フィボナッチの兎 34, 55, 89, 144, 233, フィボナッチの兎 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657. となり、どの項も、その前の2つの項の和となる。「フィボナッチ数列」は自然界に数多く存在し、例として「花の花弁の枚数が3枚、5枚、8枚、13枚のものが多い」・「ひまわりの種は螺旋状に21個、34個、55個、89個・・・と並ぶ。」などが挙げられる。

デジタル大辞泉 「フィボナッチ数列」の解説

フィボナッチ‐すうれつ【フィボナッチ数列】

《 Fibonacci numbers 》数学で、最初の二項が1で、第三項以降の項がすべて直前の二項の和になっている数列。すなわち、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, フィボナッチの兎 21, 34, 55, 89…という数列のこと。イタリアの数学者レオナルド=フィボナッチの名にちなむ。

世界大百科事典 内の フィボナッチ数列 の言及

【黄金分割】より

…正五角形の同じ頂点を通らない2本の対角線は互いに他を黄金分割する(図3)。1,1よりはじめて順次に前の2項の和をつくることによって得られる数列 1,1,2,3,5,8,13,……をフィボナッチ数列というが,この数列より相隣る2項の比をつくることによって得られる分数の数列 1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,……は黄金比に近づく。黄金比は連分数により次のように表される。…

(469) フィボナッチ の ’うさぎ算’ 増殖

♣ たとえば 「2」 に着目すると、「2+1=3」 、「3」 に着目すると 「3+2=5」 といった具合だ。後ろに行くに従って大きな数になる。この面白い数列は 「 フィボナッチの兎 兎算数列 」 であり、「 フィボナッチ数列 」 とも呼ばれる。この数列は単に兎算だけでなく、 自然界 で 「ヒマワリの種の並び方、花びらや枝の生え方」 などの螺旋の中に発見される。もちろん、自然界は 数学だけで処理されるものではないから、 無限にこの数列が発散するわけではない

フィボナッチの’うさぎ算’増殖

♣ このフィボナッチ数列のサンプルが 「人口増殖」 の観察にも見られる。 図 は 「大和時代から現在までの日本人の人口経過」 を示す。徳川時代の 300年 の ‘膨らみ’ は、例外部分となるが、 全体の図形はフィボナッチ数列の図形化 である。 鎌倉 時代の人口は 1,000万人 にも満たなかった → 徳川 時代になって 約3000万人 に達し、鎖国による食料事情によって人口はそこで飽和; 明治 時代と共に人口は急速に膨れ上がり、2004年 でピーク に達した。これら人口の消長は その裏に歴史的背景が隠されているが、今はフィボナッチだけを観察しよう。

♣ 私は初めてこの図を見たとき、思った ―― 何だ?日本人は兎算で増殖してきたのか? 我々は兎の一種なのか? と白けたものである。そう言えば、バブルが始まった 1970年 のころ、日本の鼻息は荒かったけれど、西欧の人々は 日本人 のことを 「 兎小屋に住む兎算の人々 」 と呼んでいたっけ。なるほど、たしかに その頃の大学生の下宿 は 6畳 和室なら二人住まい、トイレは共用・風呂は銭湯であった。一般住民も似たり寄ったりで、日本住宅は彼らの目でみると 「 兎小屋だった 」のであり、まったく、今昔の念に打たれてしまう。

♣ 話を元に戻す。兎算増殖と言っても それは初期の様相を記述するだけであり、 数列が無限に発散するものではない 。私も小学生のころ学校で兎を増やしたが、籠の数が 10個 程度 (20匹) で終わってしまった。 その理由: 餌・ 排泄物の世話・ 仲間喧嘩・ 病気・ 籠数の制限 など 色々 であった。

♣ 日本人口はフィボナッチ数列で増えてきたが、 兎と同じような理由で 2004年 にピークを迎えたのであろう ―― そもそも人口が無限に発散した例は歴史的にはない。ところが 日本の学者さまたち は真剣に 日本のピーク後の 人口減少を憂えている 。いわく、 国富が減少する ・ 国防上の危機が訪れる ・ 老人福祉は存亡の瀬戸際 だ . . . などなど 。それはそうかも知れない ―― だがフィボナッチ数列は 自然の中で ある限度に達したら、上記のような理由で終了するのがオチなのである。 憂えるよりも対策を 考えるのが得策だ。

♣ 日本の場合、 人口の減少 は平均寿命 フィボナッチの兎 86歳 の天寿を越えた老人の死亡 が主原因であり、 天然現象であって、‘おめでた’ でこそあれ、これに何の対策が必要であろうか? 赤ちゃんの数 が不足だ という声も大きいが、総人口 1.2億人 の日本が 毎年 100万人 前後の赤ちゃん を得ているのは、 フィボナッチの兎 バランスとして誠に中庸を得ている のではないか (100万人が100年生存して1億人の人口となる) 。米露中のような大領地国を除けば、 人口 数千万人 の中堅国家こそ 福祉の運営もパラダイス に一番 近いハズであり 、 過大な人口の発展を期待するのは フィボナッチの違反 ではないか。

結論: 日本はフィボナッチ数列で人口爆発をする能力が潜在することを証明した。今後は 生存数の規模を他国と意味なく競わず、人口 フィボナッチの兎 数千万人 の中堅国家 として、ふさわしい 平和と福祉の高揚を主張 してはどうだろう?

参考: * 新谷冨士雄・弘子:日本女性の平均年齢は86歳か、福祉における安全管理 # 466, 2014.

声1: 私は 高校の数学 で フィボナッチ数列を学んだ覚えがある ―― 自然界は天候や餌の多寡( たか )などにより 数学通りには行かないが、人間の増え方について 改めて学ぶことができた。

フィボナッチのうさぎ算増殖

声2: “プレイボーイ”誌のシンボルは ウサギのバニーちゃん子孫繁栄のシンボル だからウサギが選ばれたと聞いたことがある(係り: 長いウサギの耳を頭に付けた 背の高い可愛子ちゃんが フィボナッチ繁栄 と関係あるって. 知らなかったなー ! )。

声3: ウサギの増殖パターン日本人の人口推移を関連付けて分析 した考え方が面白かった(係り: ウサギ算よりも もっと激しい増殖をするのが‘ネズミ算’であるが、その割にネズミはあまり増えない ―― なぜなら 人間が駆除するからだ :逆に ‘ブタ算’は 一つのお産で12匹も産まれるが、 人間が片っ端から‘食べて’しまう から増えない ―― 人間の増殖は 長い目で見れば やはりウサギに近い ようだ)。

声4: フィボナッチのウサギ算によると、 ピークの後、人口減少も必然的に伴う ことが分かったが、 老人は案外に減って行かない フィボナッチの兎 フィボナッチの兎 ことを パールで働いて、身にしみて感じている(係り: だって、 老人の数を減らさないことが‘介護保険’の目的 であるから 当然のことだ)。

声5: 図を見ると、 明治維新と共に人口が爆発的に増えた のは、単にウサギのフィボナッチ増殖とは異なり、 科学の進歩による影響 が大きいのではないか?(係り: お産に関する科学が有効になったのは‘戦後’の話;明治維新の頃なら ‘鎖国令’が取り外されて食料輸入が可能となったこと 、つまり フィボナッチそのものが原因 である)。

声6: フィボナッチ数列で人口が増え続けたら困るだろう ;インドあたりではどうなっているのだろう?(係り: 食料・住居・犯罪・病気などの 制限因子 で12億人あたりに減って安定しているようだ フィボナッチの兎 ―― そうでなければ プランクトンのように 増え続ける )。

声7: 日本は フィボナッチ増殖を遂げた割りには 人々が ‘長寿’ である、しかし 「幸福度」は他国に比べてどうなのだろう ?(係り: ‘幸せ’の判定は個人の問題 だ;一般的に言えば ”金持ちほど 不幸 、老人ほど 不満 ” なのが世の常のようだ)。

声8: 日本の総人口が今より多くあるべき とは思わないが、 右見ても 左見てもお年寄りばかり という老人過剰は困ったものだと思う;その上 兄弟姉妹は二人程度という少なさも困ったものだ(係り: 私ら‘係り’は フィボナッチの兎 夫婦二人で19人の兄弟姉妹 を持っている戦前派である;でもな、 年寄りが多くて 子供も多くて、では地球が壊れてしまう よ ―― 年寄りを整頓し、子供を増やす. それが フィボナッチのサイクル ではないだろうか? 今の日本がそれを実行しつつあるか?)。

声9: フィボナッチの兎 自然界では フィボナッチのサイクル が働いて、それぞれ適切な数が保たれバランスが得られていると思う;人口減少の始まった日本にも それなりの意味があるハズであり、それをしっかり受け止めたい(係り: フィボナッチ算で増えたら ‘フィボナッチ逆算’ で減るのが‘自然界’である ―― 日本の知識層は この理( ことわり )を受け入れたがらない ―― 逆さピラミッドの人口構成のまま 赤ちゃんを増やしたら どうなるかが分かっているのか? )。

加納 光於 《止まれ、フィボナッチの兎》
KANO mitsuo oil and water color on paper
2007年9月10日(月)~9月29日(土)
日曜、祝日休廊 10:30-18:30

加納光於は1933年東京生まれ。独学で銅版画を学び、’50年代半ばから作品を発表。’60年代にはリュブリアナ国際版画ビエンナーレ、東京国際版画ビエンナーレなど、数々の国際展で評価を高め、日本を代表する作家のひとりとなりました。その後’80年代からは色彩豊かな油彩作品を発表。 国内外の美術館で個展を行い, 近年では2000年に愛知県美術館で大規模な個展が開催され、’05年には再度、リュブリアナ国際版画ビエンナーレの日本代表として版画作品を出品しました。
加納光於の作品タイトルは、文学や生物学に関連するものが多く見られますが、今回の新作タイトルは”《止まれ、フィボナッチの兎》” です。「フィボナッチの兎」は13世紀のイタリアの数学者レオナルド・ピサノが書いた『Liber abaci』の中で数学のクイズとして取り上げられ、木の枝別れやカタツムリの殻などと同じように家計図のような数列を意味するものとして使われました。自然発生的に増殖する数列に何かを止める行為…。今回も加納の新作からは様々なイメージが膨らんできます。

《止まれ、フィボナッチの兎》 1
油彩、水彩、紙 123.3x83.2cm

《止まれ、フィボナッチの兎》10
油彩、水彩、紙 77.3x107.4cm

今回の新作は、次のタブロー作品へ繋がるエスキース的な要素を含んだ、油彩に紙の作品(大77x107cm、中78x58cm)を25点を発表いたします。また、今夏に新しく刊行されたオリジナル版画集 フィボナッチの兎 《 汝、その噴水を避けよ 》 (インタリオ7点入)、さらに、詩人平出隆氏と加納とのコラボレーションによる「詩画集 雷滴 その研究」(インタリオ13点入)も展示いたします。
また、会期中の9月13日(木)19時から馬場駿吉氏による詩の朗読会を開催いたします。詳しくはギャルリー東京ユマニテまでお問い合わせ下さい。
今回は1年半ぶりの新作展になります。次々と新たな展開を見せる、加納光於の新作をこの機会に是非ご高覧下さい。

ブックタイトル RooT No.25

RooT No.25

数学偉人伝読 み 解 く !フィボナッチ フィボナッチ(1170 頃~ 1250 頃)といえば,「ウサギの問題」がよく知られています。彼の作品は5 点が残っていて,この問題は『算そろばん盤の書』(1220,改訂版1228)で紹介されています。 やってみましょう! 1 日目(スタート)は,赤ちゃんウサギが1 組 1ヶ月後,成長した大人ウサギが1 組 2ヶ月後,大人ウサギ1 組,赤ちゃんウサギ1 組 フィボナッチの兎 3 ヶ月後,大人ウサギ2 組,赤ちゃんウサギ1 組 4 ヶ月後,大人ウサギ3 フィボナッチの兎 組,赤ちゃんウサギ2 組 5 ヶ月後,大人ウサギ5 組,赤ちゃんウサギ3 フィボナッチの兎 組 : このような感じでず~っと続いていくわけです。さあ,ウサギの組数を最初から並べると, 1,1,2,3,5,8,13,フィボナッチの兎 21,34,55,89,144,233,377,……したがって,1 年後(12 ヶ月後)には233 組のウサギが跳び回っていることになります。 お気づきのように,この数列は直前の2 つの項の和が次の項になるという作りになっています。第n 項をFn で表すと,この数列は,F 1=1,F フィボナッチの兎 2 =1,Fn +2 =Fn +Fn +1と定義されます。これがよく知られている「フィボナッチ数列」です。 実際にはウサギがこんなに都合よく増えるわけはありません。フィボナッチ自身もこの問題を「数学を使った遊び」として出題しています。ところが,この数列は「空想の産物」ではなかったのです。 フィボナッチ数列が(特に算数・数学の先生方の間では)とても重要であまりに有名なので,みなさんはこの数列がフィボナッチの最大の業績なのだと思われるかもしれません。しかし,彼が「中世ラテン世界最大の数学者の一人」と呼ばれる所ゆえん以は,そこではありません。彼がいなかったら,現在の小学1 年生はノートに1,2,3,……と書いてなかったかもしれないのです。 フィボナッチの生没年は不明です。彼の生涯についてはわずかの記録しか残っていません。 まず,彼の本名は,レオナルド・ダ・ピサです。レオナルド・ダ・ヴィンチに似てますよね。これは,「ピサ出身のレオナルド」,「ヴィンチ出身のレオナルド」という意味です。「フィボナッチ」というのは,「ボナッチの息子」という意味。こちらの名前のほうがよく知られています。 フィボナッチは幼い頃,商人だった父(この人の愛称がボナッチオ)と一緒に北アフリカのブギアという町で生活を始めます。そこで彼は自分の知らなかった数の表記法に出会います。アラビアの商人たちが,インド・アラビア数字を用いた位取り記数法を使っていたのです! 今となってはちょっと信じられないくらいですが,当時のイタリアではローマ数字が使われていました。私たちがインド・アラビア数字で「2019」 フィボナッチが取り組んだのは商業数学の分野だけではなく,円の計測,三角法,数論,無理数など実用を超える内容にまで及びました。しかし,彼の最大の業績は,やはり,ヨーロッパにインド・アラビア記数法を紹介したことでしょう。 そうそう,分数の横棒(あれを「括かつ線せん」と呼ぶそうです)を最初に使ったのが,フィボナッチです。これも『算盤の書』で導入されています。 ちなみに,「ピサの斜塔」の建築は1173年から始まっています。フィボナッチは,きっと塔の建築の様子を見ていたことでしょう。彼の銅像は,ピサのドゥオモ広場にまっすぐに立っています。フィボナッチのウサギピサのレオナルド,北アフリカへレオ,十進位取り記数法に出会うレオ,分数に横棒を入れる●桐蔭横浜大学准教授 城田 直彦私の名前がついた数列が自然界で愛されているらしいオスメス1 組のウサギが生まれた。1 組のウサギは,2 ヶ月目から毎月オスメス1 組のウサギを産む。死ぬことはない。すべてのウサギがこの規則にしたがえば,1 組のウサギは1 年後には何組になるか。問題各種の花の花びらの枚数,松ぼっくりやパイナップルの表面に見える螺ら旋せんの数,ヒマワリの種の並びに現れる螺ら旋せんの数など,自然界にはフィボナッチ数が登場する場面が多くあるそうです。参考文献『 フィボナッチ[アラビア数学から西洋中世数学へ]』三浦伸夫(現代数学社、2016)ほかと表す数を,ローマ数字で「MMXIX」と表していたのです。どちらも十進法であることは同じですが,インド・アラビア数字のこの簡潔さ! しかも,百の位には数がないことを示す「0(空位の0)」が使われています。「ブラボー! 位取り記数法って,数を表すにも,筆算するにも,むちゃくちゃ便利ではないか!」 フィボナッチは,その後,エジプト,シリア,ギリシア,プロバンスなどを旅する中でインド・アラビア記数法と計算法を習得します。そして,帰国後の1202年に『算盤の書』を出版,十進位取り記数法・計算法をヨーロッパに伝えるのです。 新たな記数法がすぐに広まったわけではありません。しかし,その便利さが次第に認められ,活版印刷術の普及にも後押しされ,16 フィボナッチの兎 フィボナッチの兎 世紀半ばにはローマ数字を駆逐し定着したようです。16 算数・数学情報誌 ROOT No.25 算数・数学情報誌 ROOT No.25 17

Visucuit(ビスケット)講座 応用編- はらだ博士と違う方法でフィボナッチ数列を作ろう

設定画面はこちら。スピードは遅い方がわかりやすいかな?と思ったので遅くしていますが、遅くしなくてもかまいません。

2-1. 部品を用意しよう

一つ目は子ウサギの絵です。ウサギの問題は「つがい」でしたが、2匹描くのが面倒だったので1匹で表現しています。

二つ目は成長した親ウサギの絵です。こちらも1匹で表現します。

最後は、数を数えるための絵です。シンプルなマルの絵にしました。

2-2. メガネをつくろう

動画の通りに作ったら、メガネは結構シンプルになりました。

最後に、タッチしたら最初の子ウサギが現れるようにしました。

タッチ画面でプログラムを実行すると、最終的にこのようになります。

21以降は見切れてしまいました。

動画はこちら。

3. はらだ博士と違う方法でフィボナッチ数列を作ろう まとめ

出来上がったメガネは簡単だったんですが、最初ぜんぜんうまくいかなくて四苦八苦しました。
はらだ博士の方が美しいと思いますが、自分なりの作品が作れたのでよかったです!
フィボナッチ数列の動画を紹介してくれた、Kさん、ありがとうございました!

関連記事

よかったらシェアしてね!
  • URLをコピーしました!
  • URLをコピーしました!

コメント

コメントする

目次
閉じる