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フィボナッチ数列の 漸化式

フィボナッチ数列の 漸化式
整数をフィボナッチ数 の和として表す方法がいくつあるか計算する:

series 高校数学こぼれ話 第 19 話 渡邉泰治

■ フ ィ ボ ナ ッ チ ( Fibonacci) 数 列 は な ぜ 身 の 回 り に 頻 繁 に 顔 を 出 す フィボナッチ数列の 漸化式 の か フィボナッチ数列と呼ばれる 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … という数列は、 数列の中で高い人気を誇っている。 その理由は、数列が生成される規則の単純さにも関わらず、身の回りの様々な現象、特に生命現象の中に頻繁に登場す る不思議な数列だからであろう。ということは、この数列の規則性と自然界のそれがどこかで連動していると考えられ る。このことから長年この数列の探究が続けられてきたし、今でも探究されている。 この第 19 話では、この数列の魅力に迫ろう。

● フ ィボ ナ ッ チ数 列 はい つ ど のよ う フィボナッチ数列の 漸化式 に登 場 した か フィボナッチ数列が歴史上最初に登場したのは、1202 年に刊行された「算盤の書」の中の有名な「ウサギのつがいの 問題」であった。フィボナッチ(Fibonacci, 1170年頃-1250年頃)とはイタリアの数学者の名前であり、この著者で ある。この名前は本名ではなく通称であり、ボナッチの息子という意味のフィリウス・ボナッチ(filius Bonacci)が 短縮されて、フィボナッチと呼ばれるようになったというのが定説である。本名はレオナルド・ダ・ピサである。 「ウサギのつがいの問題」は次のとおりである。 生まれたばかりの 1 つがいのウサギは 2 か月目から毎月 1 つがいのウサギを 産むとする。すべてのウサギがこの規則に従い、死ぬことはないとするとき、 1 つがいのウサギは一年後に何つがいのウサギになるか(図 1)。 これを解決していこう。最初のウサギのつがい数は 1 である。一か月後のつがい 数はやはり 1である。二か月後には 1 フィボナッチ数列の 漸化式 つがい産むので、つがい数は 2 となる。三か 月後では、最初のつがいがさらに 1 フィボナッチ数列の 漸化式 つがい産むので、つがい数の合計は 3 となる。 四か月後では、最初のつがいがさらに 1 つがい産むとともに、二か月後に産まれた

つがいが 1 つがい産むことにより、合計は 5 つがいとなる。結局一年後には 233 つがいになっている。このような規則 で増えていく数列を、出題者に因んでフィボナッチ数列と呼ぶようになった。

● フ ィボ ナ ッ チ数 列 の基 本 的 な仕 組 みは 何 か まず、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … における数列の生成規則を考えよう。この各項は一つ手前の項ともう一つ手 前の項の和となっている。これを数列の漸化式で表現すると、 an +2 =a n +1 +a n , a 1 = a2 =1 … ① である。上述した「ウサギのつがいの数」は、一か月前のつがい数と二か月前のつがい数の和であり、この生成規則に 従っている。 次に、この数列の一般項を求めていこう。① の漸化式の解法は、高校数学では「隣接 3 項間の漸化式」と呼ばれる難 問のひとつであるが、大学入試では頻出問題でもある。まず ① 式を a n+2 - aan フィボナッチ数列の 漸化式 +1 =b0 a n +1 -aa n 1 … ② の形に変形する。というのは、② 式から数列 フィボナッチ数列の 漸化式 6 a n+1 - aan フィボナッチ数列の 漸化式 7 が公比 b の等比数列と分かり、解法の糸口となるからであ る。② 式を フィボナッチ数列の 漸化式 a n+2 - 0 a+ b 1a n+1 + aba n フィボナッチ数列の 漸化式 =0 と変形して ① 式と比較すると、a+ b =1 , ab=-1 を得る。この a , b の値は t 2 -t -1=0 (特性方程式という)を解くことで求まり、

1$ U 5 である。a, b の値の取り方は 2 通りあるか 2

ら、② 式は a n+2 - aan +1 =b0 a n +1 -aa n 1 , a n+2 - ban +1 =a0 a n +1 -ba n 1 … ②' の 2 通りできる。これらの各々 から等比数列の一般項を組み立てて、an +1 -aa n =0a 2 -aa 11 b n -1 , an +1 -ba n =0a 2 -ba 11 a フィボナッチ数列の 漸化式 n -1 すなわち

1 +U 5 1+ フィボナッチ数列の 漸化式 U 5 a n = a 2a1 2 2

98 9 1+ U 5 98 2 9

8 9 1+ U 5 = 8 2 9

が導かれる。④-③ として an +1 を消去すると、一般項 an が次のとおり求まる。 an =

図 2 : 樹木の枝分かれのモデル

● フ ィボ ナ ッ チ数 列 はど ん な 現象 に フィボナッチ数列の 漸化式 現れ る のか 「各項は一つ手前の項ともう一つ手前の項の和」という生成規則は、生命現象 のなかで二世代前からの影響を受ける現象の単純なモデルと考えられる。モデル とは、現象の原理を数理的に簡略化したものである。その具体例をみていこう。 まず最初に、樹木が枝分かれするときの枝の本数を考えてみよう(図 2)。最 初に種から芽生えた木の幹は 1 本である(このとき双葉があるかもしれないが、 フィボナッチ数列の 漸化式 それは枝とは言わないことにする)。さて、幹がある程度太くなると枝を 1 本出

図 3 : 出芽細胞の分裂モデル

す。このとき幹と枝の合計の本数は 2 フィボナッチ数列の 漸化式 本である。成長に伴ってさらに幹は別の枝を出す。このとき、最初に伸びた枝は まだ細くて枝を出すに至っていないので、本数は 3 本である。しばらくすると、幹はさらに枝を出すとともに、最初に 出た枝も十分太くなり新たに枝を出し、幹と枝の本数の合計は 5 本となる。この ように幹と枝の本数の合計はフィボナッチ数列を形成する。 二つ目の例として、細胞が分裂して増えていく現象でも、似たようなことが起 こる。特に出芽細胞では、親細胞は一定時間毎に小細胞を出芽し、小細胞は一定 時間経って親細胞となり、しばらくして小細胞を出芽する(図 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 3)。このような 場合も細胞の合計数はフィボナッチ数列を形成する。 図 4 : 葉序の代表 ● フィボナッチ数列の 漸化式 螺 旋の な か に潜 む フィ ボ ナ ッチ 数 列 植物が茎から葉を出す方向の規則は葉序と呼ばれ、研究がなされてきた。 生物形態学での葉の出方の代表は、互生、対生、輪生が挙げられる(図 4)。 そこでは、葉が効率的に受光できるように、黄金角(第 20 話)をなす方向 に出ると考えられている(図 5 左)。さらに最新の分子生物学や発生学では、 分裂組織と植物ホルモン分布との位置関係から黄金角をなすという研究(近 フィボナッチ数列の 漸化式 藤 滋著:「波紋と螺旋とフィボナッチ」、秀潤社 参照)もある。 いずれにせよ、茎の周りに葉が規則的に生えるので、それが密集すると螺 旋模様ができる (図 フィボナッチ数列の 漸化式 フィボナッチ数列の 漸化式 5 右)。その顕著な例として松かさやヒマワリの種の部

分にできる螺旋模様は見事である(図 6)。 この螺旋には右巻きと左巻きが あり、それらの本数の比がフィボナッチ数列の隣同士の値となることが多い (例外もある)。この松かさでは 5 : 8 、ヒマワリでは 55 : 89 となっている。

以上、フィボナッチ数列の人気の秘密を探ってきた。それは、この数列の 生成規則が生物界に潜む規則をモデル的に表現していることにあった。 実は、フィボナッチ数列は黄金比とも密接な関係にあり、それが魅力に拍

Fibonacci

フィボナッチ(Fibonacci)数 を求める.

フィボナッチ多項式 フィボナッチ数列の 漸化式 を求める.

スコープ (41)

数値評価 (4)

特定の値 (6)

記号的な n と x についての Fibonacci 多項式:

, Fibonacci2]=5" width="52" height="15" /> となるような の値を求める:

可視化 (5)

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の実部をプロットする:

TemplateBox[<3, <x, +, iy></p>
<p>>, Fibonacci2] の虚部をプロットする:

関数の特性 (14)

TemplateBox[</p>
<p>Fibonacci は鏡特性 , Fibonacci](z)=TemplateBox[, Fibonacci](z) を持つ:

n についての 次導関数の式:

級数展開 (4)

の周りの最初の3つの近似をプロットする:

関数の恒等式と簡約 (2)

一般化と拡張 (2)

アプリケーション (13)

整数をフィボナッチ数 の和として表す方法がいくつあるか計算する:

ラメ(Lam é )の定理は を計算するユークリッドのアルゴリズムのステップ数を拘束する:

が , Fibonacci]" width="17" height="15" /> を割るなら , Fibonacci]" width="15" height="15" /> は , Fibonacci]>, Fibonacci]" width="24" height="17" /> を割る:

gcd(TemplateBox[<n></p>
<p>これはより一般的な恒等式 , Fibonacci],TemplateBox[, Fibonacci])=TemplateBox[, )>>, フィボナッチ数列の 漸化式 Fibonacci] の際立ったケースである:

, Fibonacci], m>, Mod]" width="56" height="15" /> の数列は固定した自然数 の場合 に関して周期的である:

の場合,周期は に等しい:

特性と関係 (15)

フィボナッチ数 (13)

フィボナッチ多項式 (2)

考えられる問題 (3)

おもしろい例題 (8)

チュートリアル

関連するガイド

関連リンク

  • ▪ 実装に関するノート: 数値および関連関数
  • MathWorld
  • The Wolfram Functions Site
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: More about Numbers
  • An Elementary Introduction to the Wolfram Language: Writing Good Code (A New Kind of Science)

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